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En este caso nos vamos a apoyar en el método .reverse de la clase StringBuffer. Este método invierte el contenido de la cadena.

Pero vamos por partes. Lo primero será tener una palabra/frase que sea un palíndromo, e instanciarla en un String.

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String sPalabra = "comete al oso la etemoc";

Preparamos un poco la palabra/frase, quitándola los espacios en blanco. Para ello utilizamos el método replace.

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sPalabraSinEspacios = sPalabra.replace(" ", "");

Ahora cargaremos el string buffer y le aplicamos el método .reverse, quedándonos la palabra/frase dada la vuelta.

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      StringBuffer sb = new StringBuffer(sPalabraSinEspacios);
      sb = sb.reverse();

Ya solo nos quedará el comparar la palabra original con la palabra dada la vuelta mediante el método reverse. En caso de que coincidan será que la palabra es un palíndromo.

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if (sPalabraSinEspacios.equalsIgnoreCase(sb.toString()))
 System.out.println(sPalabra + " es un PALINDROMO");
 else
 System.out.println(sPalabra + " NO es un palindromo");